[Math] Linear Algebra_Part 2

    아마 행렬에서 가장 중요한 부분이 아닐까 싶다.

    바로 역행렬에 대한 부분이다. 역행렬은 선형대수학에서 가장 중요하게 다루어 지는 부분이다. 여러 문제를 풀다보면 역행렬 공식에 대한 부분이 나오는데 이번 부분에서는 역행렬 공식의 유도과정에 대해서 자세히 다뤄볼 예정이다.

 

역행렬의 정의

    다음 설명에서 볼 수 있듯이 역행렬이란 A와 B의 곱이 단위 행렬이 될 때 B를 A의 역행렬이라고 말한다.

모든 A가 역행렬을 갖는 것은 아니다. 만약 역행렬이 존재한다면 우리는 A를 3가지 행렬이라고 설명할 수 있다. regular, invertible, nonsingular인데 앞에서부터 차례대로 정칙행렬, 가역행렬, 비특이 행렬을 말한다. 선형대수학에서 이 3가지 행렬은 곱한 결과가 단위 행렬인 행렬을 갖는 행렬이다. 반대로 역행렬을 가질 수 없는 행렬은 2가지가 있는데 singular, noninvertible이다. 앞에서부터 차례대로 특이행렬과 비가역행렬이다.

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행렬 A

    행렬 A가 위와 같이 주어졌다고 하자.

A의 역행렬 구하는 공식

    A의 역행렬을 구하는 공식이다. 하지만 수학에서 가장 중요한 것은 어떻게 위 공식이 유도되었는지를 파악해야 한다. 앞서 A와 A의 역행렬을 곱하면 단위행렬이 된다고 하였다.

A행렬 x A의 역행렬 = 단위행렬

    위의 조건을 적용 시키면 4가지 변수를 가진 방정식이 4개가 나온다.

• ax + bz = 1
• bw + ay = 0
• cx + dz = 0
• dw + cy = 1

    내가 구해야 할 부분은 바로 x, y, z, w가 무엇인지를 파악하는 것이다. 따라서 4가지 방정식을 행렬로 풀어보면 다음과 같이 나온다.

    x, y, z, w, 상수에 대한 방정식을 행렬로 풀어쓰면 다음과 같다.

1. 첫번째 행과 첫번째 열에 있는 a를 1로 바꿔 주기 위해서 첫번재 행을 a로 나눈다.
2.  3번째 행에 있는 c를 0으로 만들기 위해서 첫번째 행에 c을 곱해서 1행에서 3행을 빼준다

1. 마찬가지로 두번째 행과 두번째 열에 있는 a를 1로 바꿔주기 위해서 2행을 a로 나눠준다.
2. 4번째 행에 있는 c를 0으로 만들기 위해서 두번째 행에 c를 곱해서 2행에서 4행을 빼준다.

1. 세번째 행에 있는 -d+(bc/a)를 1로 바꿔주기 위해서 세번째 행을 a / (bc-ad)를 곱해준다.
2. 네번째 행도 같은 방식으로 진행한다.

1. 두번재 행에 있는 b/a를 0으로 바꾸기 위해서 네번째 항에 b/a를 곱해서 두번째 행에서 네번재 항을 뺀다.
2. 첫번째 행에 있는 b/a를 0으로 바꾸기 위해서 세번째 행에 b/a를 곱해서 첫번째 행에서 세번째 행을 뺀다.

    결국 마지막에는 위와 같이 x, y, z, w는 단위 행렬로 바뀌고 상수 값만 존재하게 된다.

• x = d / (ad - bc)
• y = -(b / (ad - bc))
• z = -(c / (ad - bc))
• w = a / (ad - bc)

    위와 같이 x, y, z, w에 대한 식으로 바뀐다. 따라서 변수들을 행렬에 대입하게 되면 1 / (ad - bc)는 공통이므로 행렬 밖으로 꺼내고 부호를 붙여주게 되면

A의 역행렬 구하는 공식

    위 식이 제대로 유도 되는 것을 볼 수 있다.

    이번 부분에서 가장 중요한 역행렬을 유도하는 과정을 살펴보았다.