[Math] Linear Algebra_Part 1
<Introduction about Vector>
직관적인 개념을 형성할때, 일반적인 접근 방법은 특정한 것으로부터 일정한 규칙을 확립하는 것이다. 이러한 특징을 발견하는 학문을 바로 대수학(Algebra)이라고 부른다. 선형 대수학은 벡터들과 이를 다루기 위한 대수학의 규칙에 대한 공부이다. 우리가 알고 있듯이 학교에서 배우는 벡터들은 위치 벡터라고 불린다. 이 위치 벡터는 주로 x 위에 화살표를 그려 표시한다. 우리는 벡터의 더 일반적인 개념을 사용할 때 x를 굵게 표시하여 x로 표시한다. 일반적으로, 수학에서 벡터는 특별한 존재이다. 벡터는 함께 더해질 수도 있고, 스칼라에 의해 곱해져 같은 벡터이지만 다른 형태로 만들어질 수 있다. 수학적인 관점에서 아래 두가지 특성을 가지고 있다면 벡터를 의미한다.
(a) 위치 벡터의 예시는 우리가 고등학교때 수학과 물리에서 배웠던 친숙한 개념이다. 위치 벡터는 곧은 직선의 형태이다. 두가지의 벡터 x와 y의 합은 x + y = z로 다른 위치 벡터로 바뀐다. 게다가 스칼라에 의한 곱셈은 λx 벡터, λ는 실수 전체의 집합을 의미한다. 한마디로 λ에는 아무 실수나 들어갈 수 있다는 것이다. (ex. 10x, 11λ ...)
(b) 다항식 또한 벡터이다. 서로 다른 다항식을 더하면 완전히 다른 다항식이 되기 때문이다.
<2.1.1 Definition - Matrices>
행렬(Matrix)이란 선형 대수학에서 가장 중요한 역할을 한다. 행렬은 일차방정식의 전체를 표현할 수 있다.
A를 바로 행렬이라고 한다. m x n으로 이루어져있는 행렬이고, m을 행, n을 열이라고 부른다.
<2.1.2 Matrices Addition and Multiplication>
행렬의 덧셈은 우리가 알고 있는 덧셈과 같다. 위치가 같은 숫자끼리 더하는 것이다. 하지만 행렬의 곱셈은 조금 이야기가 달라진다.
Example 2.3 이 바로 행렬의 곱셈이다. A의 행렬은 2 x 3 행렬이고, B의 행렬은 3 x 2 행렬이다. 행렬을 표시할 때는 m x n으로 표시한다고 앞서 설명했는데, 두 행렬의 곱셈을 할 때 A의 행렬의 n과 B 행렬의 m이 같아야 행렬의 곱이 가능하다. 그 외의 경우로 만약 n과 m이 서로 다르다면 곱셈을 할 수 없으니 명심하자!
행렬의 곱셈은 위와 같은 방식으로 진행한다. 간단히 설명해서 A와 B의 행렬의 곱을 했을 때의 결과 값을 C라고 가정하자. C의 1행 1렬 즉 C11의 값은 a11*b11 + a12*b21 + a13*b31의 값으로 정해진다. 따라서 C의 행렬은 2 x 2 행렬이 된다. 우리가 아는 숫자(스칼라)의 곱에서는 교환법칙이 성립하지만, 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다.
<2.1.3 Definition - Identity Matrix>
Identity Matrix란 단위 행렬이라는 것이다. 단위 행렬이란 주대각선의 원소가 모두 1이며 나머지 원소는 모두 0인 정사각 행렬을 의미하는데 여기서 주대각 원소란 대각선에 위치하고 있는 원소이다.
단위 행렬은 반드시 정사각 행렬이라는 것을 명심하자.
- Associativity (결합법칙)
모든 A가 행렬 mxn을 만족하고, B가 행렬 nxp를 만족하며, C가 행렬 pxq를 만족할 때 다음과 같은 교환법칙이 성립한다. 계산의 순서를 바꿔도 되지만, 위치를 바꿔서 계산은 불가능하다.
- Distributivity (분배법칙)
- Multiplication with the Identity matrix (단위 행렬과의 연산)
자세히 보면 '∀' 표시가 있는데 ∀ 표시는 전칭 표시이다. ∀A의 의미는 모든 A는 ~이다. 라는 의미이다.